فرمولهای دنباله هندسی | صفر تا صد نکات دنباله هندسی با مثال

دنباله‌های هندسی یکی از موضوعاتی است که دانش آموزان رشته ریاضی و تجربی از سال دهم در درس ریاضی 1، و دانش آموزان رشته انسانی در سال دوازدهم با آن آشنا می‌شوند. از مبحث دنباله‌های هندسی در کنکور سراسری حتما سوالاتی به صورت مستقیم و غیر مستقیم مطرح می‌شود. ضمن اینکه با توجه به نهایی بودن درس ریاضی در هر سه پایه مقطع متوسطه دوم، تسلط به نکات آن بسیار ضروری است. در این مقاله از سایت آموزش ریاضی مامعلمیم به بررسی مهمترین فرمول‌های دنباله هندسی پرداخته‌ایم و مثال‌های مختلفی را نیز در این زمینه ارائه کرده‌ایم.

ضمنا در صورت نیاز به هر گونه مشاوره در زمینه یادگیری ریاضی از پایه تا دانشگاه یا تدریس ریاضی در مقاطع مختلف، کافیست وارد صفحه تماس با ما شده و  از طریق راه های معرفی شده در این صفحه، سوالات خود را با ما مطرح کنید.

 

دنباله هندسی چیست؟

دنباله هندسی (Geometric Sequence) که تحت عنوان تصاعد هندسی هم شناخته می‌شود، یک دنباله از اعداد است، که در آن هر جمله (به جز جمله اول)، با ضرب یک عدد ثابت در جمله قبلی خود به دست می‌آید.

به زبان ساده تر، در هر دنباله هندسی، نسبت هر دو جمله متوالی (پشت سر هم)، برابر با یک مقدار ثابت است. این عدد ثابت را قدر نسبت دنباله هندسی می‌نامیم که معمولا با حرف q یا r نشان داده می‌شود.

قدر نسبت دنباله هندسی می‌تواند منفی یا مثبت باشد اما صفر نمی تواند باشد. ضمن اینکه جمله اول دنباله هندسی نباید صفر باشد. زیرا باعث می شود بقیه جملات هم صفر شوند.

در حالتی که q>1، دنباله هندسی را افزایشی، در حالتی که \(0<q<1\) دنباله هندسی را کاهشی و در حالتی که q=1، دنباله را ثابت می‌نامیم. در حالتی که q<0 باشد دنباله هندسی نه افزایشی است و نه کاهشی.

مثال 1:

الف) دنباله $$2, 6, 18, 54, … $$ یک دنباله هندسی (افزایشی) با قدر نسبت 3 است.

ب) دنباله  $$16, 8, 4, 2, 1, 0.5, …$$ یک دنباله هندسی (کاهشی) با قدر نسبت \(\frac{1}{2}\) است.

ج) دنباله  $$4, 4, 4, 4, …$$ یک دنباله ثابت با قدر نسبت 1 است.

 

مهم ترین فرمولهای دنباله هندسی

برای تسلط به مبحث دنباله هندسی که لازم است که با چند فرمول مهم در این زمینه آشنا باشید، سپس این فرمولها را به ذهن بسپارید و به قدری تمرینات مختلف را حل کنید که در استفاده از این فرمولها به تبحر کامل برسید. در ادامه، مهمترین فرمولهای دنباله هندسی را به همراه مثال ارائه کرده‌ایم.

 

فرمول جمله عمومی دنباله هندسی

بسیار خب، به سراغ اولین و مهمترین مورد از فرمولهای دنباله هندسی، یعنی جمله عمومی دنباله هندسی می رویم. جمله عمومی هر دنباله، در واقع حکم کد ملی برای افراد را دارد. همان طور که با داشتن کد ملی یک فرد در صورت لزوم میتوان همه اطلاعات مربوط به او را به دست آورد، با داشتن جمله عمومی هر دنباله نیز میتوانیم تمام اطلاعات و رفتارهای دنباله را بررسی کنیم.

فرمول جمله عمومی دنباله های هندسی همگی به صورت زیر هستند:

$$\bbox[10px, border: 2px solid red]{\color{red} {a_n=a_1q^{n-1}}}$$

مثال 2: جمله عمومی یک دنباله هندسی به صورت \(a_n=5 \times 3^{n-1}\)است. قدرنسبت و جمله اول آن را به دست آورید.

پاسخ: با توجه به الگوی دنباله هندسی داریم q=3. همچنین \(a_1=5\).

 

رابطه بازگشتی دنباله هندسی

فرمول رابطه بازگشتی دنباله های هندسی به صورت زیر است:

$$\bbox[10px, border: 2px solid red]{\color{red} {a_n=ra_{n-1}}}$$

مثال 2: رابطه بازگشتی دنباله هندسی \(2, 4, 8, 16, …\) را بنویسید.

پاسخ: با توجه به اینکه q=2 استT بنابراین طبق فرمول بالا داریم:

$${\color{green} {a_n=2a_{n-1}}}$$

 

فرمول قدر نسبت دنباله هندسی

در رابطه با دنباله هندسی میدانیم که اگر دو جمله متوالی را داشته باشیم، با یک تقسیم ساده میتوان قدر نسبت را بدست آورد. برای مثال اگر جمله نهم برابر 512 و جمله دهم برابر 1024 باشد، به وضوح قدر نسبت برابر با 2 است.

اما در اکثر مواقع، صورت سوال مقدار دو جملۀ غیرمتوالی از یک دنباله هندسی را به شما میدهد و سوالاتی را در مورد قدر نسبت یا جمله عمومی دنباله میپرسد.

برای مثال اگر جمله دوم برابر با 32 و جمله پنجم برابر با 4 باشد، قدر نسبت دنباله چند است؟

در چنین شرایطی بهتر است فرمولی را در ذهن داشته باشید که با استفاده از آن به راحتی بتوانید قدر نسبت دنباله را حساب کنید. با فرض این که صورت سوال جمله (a_m) و (a_n) را داده باشد، فرمول محاسبه قدرنسبت به صورت زیر خواهد بود:

$$\bbox[10px, border: 2px solid red]{\color{red} {r=\sqrt[n-m]{\frac{a_n}{a_m}}}}$$

مثال 3: اگر جمله دوم برابر با 32 و جمله پنجم برابر با 4 باشد، قدر نسبت دنباله چند است؟
پاسخ: $${\color{green} {r=\sqrt[5-2]{\frac{32}{4}}=\sqrt[3]{8}=2}}$$

بنابراین قدر نسبت برابر با 2 است.

 

فرمول درج واسطه هندسی

حتما در سوالات تستی با این قبیل سوالات مواجه شده اید که بین دو عدد خاص مانند a و b، تعدادی عدد را به شکلی قرار دهید که حاصل، یک دنباله هندسی شود. در این حالت کافیست با استفاده از فرمول زیر، قدر نسبت دنباله را به دست آورده و بر اساس آن، به ترتیب تک تک جملات را به دست آورد.

$$\bbox[10px, border: 2px solid red]{\color{red} {r=\sqrt[n+1]{\frac{b}{a}}}}$$

مثال 5: بین دو عدد 3 و 243 سه واسطه هندسی درج کنید.

پاسخ: ابتدا با استفاده از فرمول بالا قدر نسبت را به دست میآوریم:

$${\color{green} {r=\sqrt[3+1]{\frac{243}{3}}=\sqrt[4]{81}=3}}$$

بنابراین قدر نسبت برابر با 3 است و جملات مورد نظر به صورت زیر خواهند بود:

$$3, 9, 27, 81, 243$$

 

فرمول میانگین هندسی

اگر x و y و z سه جمله متوالی یک دنباله هندسی باشند، رابطه زیر بین آن ها برقرار است:

$$\bbox[10px, border: 2px solid red]{\color{red} {y=\sqrt{xz}}}$$

مثال 6: اگر سه عدد x و 8 و 32 سه جمله متوالی یک دنباله هندسی باشند، x را بدست آورید.

پاسخ: جمله وسط یعنی 8 میانگین هندسی دو جمله کناری یعنی x و 32 است. بنابراین طبق فرمول بالا داریم:

$${\color{green} {8=\sqrt{x\times 32}}}$$

با حل معادله بالا داریم x=2.

 

روابط اندیسی در دنباله های هندسی

به سراغ یکی دیگر از مهم ترین فرمول های دنباله هندسی میرویم. در دنباله های هندسی اگر m و n و p و q اندیسهای جملات باشند و داشته باشیم (m+n=p+q)، آن گاه خواهیم داشت:

$$\bbox[10px, border: 2px solid red]{\color{red} {a_n\times a_m=a_p\times a_q}}$$

مثال 7: در یک دنباله هندسی جملات هفتم و دهم به ترتیب، 12 و 48 هستند. حاصل ضرب جملات چهارم و سیزدهم این دنباله چقدر است؟

پاسخ: با توجه به اینکه 7+10=4+13، بر اساس فرمول بالا داریم:

$${\color{green} {a_7\times a_{10}=a_4\times a_{13}}}$$

در نتیجه

$${\color{green} {a_4\times a_{13}=576}}$$

 

فرمول مجموع جملات دنباله هندسی \((S_n)\) یکی از مهم ترین فرمولهای دنباله هندسی

یکی از مهم ترین سوالات امتحانی و کنکوری در بحث دنباله هندسی، مربوط به محاسبه مجموع n جمله اول یک دنباله هندسی است. برای مثال در دنباله هندسی  \(3, 9, 27, 81, …\) مجموع صد جمله اول را به دست آورید. در چنین شرایطی از فرمول زیر استفاده میکنیم:

$$\bbox[10px, border: 2px solid red]{\color{red} {S_n=\frac{a_1(r^n-1)}{r-1}}}$$

که در آن n، تعداد جملات \(a_1\) جمله اول و r قدر نسبت دنباله است.

 

مثال: در دنباله هندسی \(3, 9, 27, 81, …\) مجموع 10 جمله اول را به دست آورید؟

پاسخ: به وضوح قدر نسبت این دنباله برابر با 3 است، \(a_1=3\) و n=10. بنابراین با توجه به فرمول بالا داریم:

$$\bbox[10px, border: 2px solid green]{\color{green} {S_{10}=\frac{3(3^{10}-1)}{3-1}=\frac{3(59049-1)}{2}=\frac{177144}{2}=88572}}$$

در نتیجه حاصل جمع 10 جمله اول، برابر با 88572 است.

سخن پایانی 

در این پست از سایت آموزش ریاضی ما معلمیم. به بررسی مهم ترین فرمولهای دنباله هندسی پرداختیم. فرمول جمله عمومی دنباله هندسی، رابطه بازگشتی دنباله هندسی، فرمول مجموع n جمله اول دنباله هندسی و بسیاری موارد دیگر را به همراه مثال مطرح کردیم.

ما تلاش می‌کنیم تا سایت مامعلمیم را به یک منبع قابل اعتماد برای آموزش ریاضی و معرفی بهترین اساتید ریاضی ایران تبدیل کنیم. در صورتی که قصد آمادگی برای آزمون‌های ریاضی ابتدایی تا دانشگاه را دارید می‌توانید جهت دریافت مشاوره یا درخواست کلاس‌های ریاضی حضوری و آنلاین، با شماره 09127197461 تماس بگیرید.