فرمولهای دنباله حسابی | صفر تا صد نکات دنباله حسابی با مثال

دنباله ها یکی از موضوعاتی است که دانش آموزان در هر سه رشته انسانی، تجربی و ریاضی با آن سر و کار دارند. این مبحث شامل آشنایی با الگو و دنباله، دنباله حسابی و دنباله هندسی است. از مبحث دنباله ها معمولا یک یا دو سوال در کنکور سراسری مطرح می‌شود. در این مقاله از سایت آموزش ریاضی مامعلمیم به بررسی دنباله حسابی و 11 مورد از مهم‌ترین فرمولهای دنباله حسابی پرداخته ایم و مثالهای مختلفی را نیز در این زمینه ارائه کرده‌ایم.

ضمنا در صورت نیاز به هر گونه مشاوره در زمینه یادگیری ریاضی از پایه تا دانشگاه یا تدریس ریاضی در مقاطع مختلف، کافیست وارد صفحه تماس با ما شده و  از طریق راه های معرفی شده در این صفحه، سوالات خود را با ما مطرح کنید.

دنباله حسابی چیست؟

دنباله حسابی (Arithmetic Sequence) که تحت عنوان تصاعد حسابی هم شناخته می‌شود، یک دنباله از اعداد است، که در آن هر جمله (به جز جمله اول)، با اضافه کردن یک عدد ثابت به جمله قبلی خود به دست می‌آید.

به زبان ساده تر، در هر دنباله حسابی، تفاضل هر دو جمله متوالی (پشت سر هم)، برابر با یک مقدار ثابت است. این عدد ثابت را قدر نسبت دنباله حسابی می‌نامیم که معمولا با حرف d نشان داده می‌شود.

قدر نسبت دنباله حسابی می‌تواند منفی یا مثبت یا حتی صفر باشد. در حالتی که  d>0، دنباله حسابی را افزایشی، در حالتی که  d<0، دنباله حسابی را کاهشی و در حالتی که d=0، دنباله را ثابت می‌نامیم.

مثال:

الف) دنباله $$2, 5, 8, 11, … $$ یک دنباله حسابی (افزایشی) با قدر نسبت 3 است.

ب) دنباله  $$22, 17, 12, 7, 2, -3, -8, …$$ یک دنباله حسابی (کاهشی) با قدر نسبت 5- است.

ج) دنباله  $$4, 4, 4, 4, …$$ یک دنباله ثابت با قدر نسبت صفر است.

 

مهم ترین فرمولهای دنباله حسابی

برای تسلط به مبحث دنباله حسابی که لازم است که با چند فرمول مهم در این زمینه آشنا باشید، سپس این فرمولها را به ذهن بسپارید و به قدری تمرینات مختلف را حل کنید که در استفاده از این فرمولها به تبحر کامل برسید. در ادامه مهم‌ترین فرمولهای دنباله حسابی را به همراه مثال ارائه کرده ایم.

1) فرمول جمله عمومی دنباله حسابی

بسیار خب، به سراغ اولین و مهم‌ترین مورد از فرمولهای دنباله حسابی، یعنی جمله عمومی دنباله حسابی می‌رویم. جمله عمومی هر دنباله، در واقع حکم کد ملی برای افراد را دارد.

همان طور که با داشتن کد ملی یک فرد در صورت لزوم می‌توان همه اطلاعات مربوط به او را به دست آورد، با داشتن جمله عمومی هر دنباله نیز می‌توانیم تمام اطلاعات و رفتارهای دنباله را بررسی کنیم.

فرمول جمله عمومی دنباله های حسابی همگی به صورت زیر هستند:

$$\bbox[10px, border: 2px solid red]{\color{red} {a_n=a_1+(n-1)d}}$$

همچنین ساده شدۀ این فرمول به صورت زیر است که به آن الگوی خطی دنباله حسابی می‌گوییم.

$$\bbox[10px, border: 2px solid red]{\color{red} {a_n=nd+(a_1-d)}}$$

 

مثال 1: الگوی خطی یک دنباله حسابی به صورت \(a_n=10n+4\) است. قدرنسبت و جمله اول آن را به دست آورید.
پاسخ: با توجه به الگوی خطی دنباله حسابی داریم d=10. از طرفی جمله ثابت این الگوی خطی \(a_1-d\) است. بنابراین داریم:

$${\color{green} {a_1-10=4}}$$

با حل یک معادله ساده خواهیم داشت \(a_1=14\).

 

2) رابطه بازگشتی دنباله حسابی

فرمول رابطه بازگشتی دنباله‌های حسابی به صورت زیر است:

$$\bbox[10px, border: 2px solid red]{\color{red} {a_n-a_{n-1}=d}}$$

 

مثال 2: رابطه بازگشتی دنباله حسابی \(11, 8, 5, 2, …\) را بنویسید.
پاسخ: با توجه به اینکه d=-3 است بنابراین طبق فرمول بالا داریم:

$${\color{green} {a_n-a_{n-1}=-3}}$$

 

3) فرمول قدر نسبت دنباله حسابی

در رابطه با دنباله حسابی می‌دانیم که اگر دو جمله متوالی را داشته باشیم، با یک تفریق ساده می‌توان قدر نسبت را بدست آورد. برای مثال اگر جمله نهم برابر 32 و جمله دهم برابر 38 باشد، به وضوح قدر نسبت برابر با 6 است.

اما در اکثر مواقع، صورت سوال مقدار دو جملۀ غیرمتوالی از یک دنباله حسابی را به شما می‌دهد و سوالاتی را در مورد قدر نسبت یا جمله عمومی دنباله می‌پرسد.

برای مثال اگر جمله دهم برابر با 2 و جمله شصتم برابر با 102 باشد، قدر نسبت دنباله چند است؟

در چنین شرایطی بهتر است فرمولی را در ذهن داشته باشید که با استفاده از آن به راحتی بتوانید قدر نسبت دنباله را حساب کنید. با فرض این که صورت سوال جمله \(a_m\) و \(a_n\) را داده باشد، فرمول محاسبه قدرمطلق به صورت زیر خواهد بود:

$$\bbox[10px, border: 2px solid red]{\color{red} {d=\frac{a_m-a_n}{m-n}}}$$

 

مثال 3: اگر جمله دهم یک دنباله برابر با 2 و جمله شصتم برابر با 102 باشد، قدر نسبت این دنباله چند است؟
پاسخ: $${\color{green} {d=\frac{a_{60}-a_{10}}{60-10}=\frac{102-2}{60-10}=\frac{100}{50}=2}}$$

 

4) فرمول تعداد جملات دنباله حسابی متناهی 

فرض کنید یک بخش متناهی از جملات یک دنباله حسابی را داریم و می‌خواهیم بدانیم در این بخش چند جمله قرار گرفته است. برای مثال می‌خواهیم بدانیم در دنباله حسابی زیر، چه تعداد جمله قرار دارد؟

$$3, 7, 11, …, 243$$

برای حل چنین سوالاتی کافیست از فرمول زیر استفاده کنیم:

$$\bbox[10px, border: 2px solid red]{\color{red} {n=\frac{a_n-a_1}{d}+1}}$$

 

مثال 4: در دنباله حسابی \(3, 7, 11, …, 243\) چه تعداد جمله قرار دارد؟

پاسخ: به وضوح قدر نسبت این دنباله برابر با 4 است، بنابراین با توجه به فرمول بالا داریم:

$${\color{green} {n=\frac{243-3}{4}+1=61}}$$

بنابراین دنباله حسابی متناهی مورد نظر، شامل 61 جمله است.

 

5) فرمول درج واسطه حسابی

حتما در سوالات تستی با این قبیل سوالات مواجه شده‌اید که بین دو عدد خاص مانند a و b، تعدادی عدد را به شکلی قرار دهید که حاصل، یک دنباله حسابی شود. در این حالت کافیست با استفاده از فرمول زیر، قدر نسبت دنباله را به دست آورده و بر اساس آن، به ترتیب تک تک جملات را به دست آورد.

$$\bbox[10px, border: 2px solid red]{\color{red} {d=\frac{b-a}{n+1}}}$$

 

مثال 5: بین دو عدد 3 و 28 چهار واسطه حسابی درج کنید.

پاسخ:  ابتدا با استفاده از فرمول بالا قدر نسبت را به دست می‌آوریم:

$${\color{green} {d=\frac{b-a}{n+1}=\frac{28-3}{4+1}=5}}$$

بنابراین قدر نسبت برابر با 5 است و جملات مورد نظر به صورت زیر خواهند بود:

$$3, 8, 13, 18, 23, 28$$

 

6) فرمول میانگین حسابی 

اگر x و  y و z سه جمله متوالی یک دنباله حسابی باشند، رابطه زیر بین آن ها برقرار است:

$$\bbox[10px, border: 2px solid red]{\color{red} {y=\frac{x+z}{2}}}$$

 

مثال 6: اگر سه عدد x و 2x-1 و 7 سه جمله متوالی یک دنباله حسابی باشند، x را بدست آورید.

پاسخ: جمله وسط یعنی 2x-1 میانگین دو جمله کناری یعنی x و 7 است. بنابراین طبق فرمول بالا داریم:

$${\color{green} {\frac{x+7}{2}=2x-1}}$$

با حل معادله بالا داریم x=3.

 

7) روابط اندیسی در دنباله‌ های حسابی

به سراغ یکی دیگر از مهم ترین فرمول های دنباله حسابی می‌رویم. در دنباله های حسابی اگر m و n و p و q اندیس‌های جملات باشند و داشته باشیم \(m+n=p+q\)، آن گاه خواهیم داشت:

$$\bbox[10px, border: 2px solid red]{\color{red} {a_n+a_m=a_p+a_q}}$$

 

مثال 7: در یک دنباله حسابی جملات هفتم و دهم به ترتیب، 12 و 25 هستند. مجموع جملات چهارم و سیزدهم این دنباله چقدر است؟

پاسخ: با توجه به اینکه 7+10=4+13، بر اساس فرمول بالا داریم:

$${\color{green} {a_7+a_{10}=a_4+a_{13}}}$$

در نتیجه

$${\color{green} {a_4+a_{13}=37}}$$

 

8) دنباله جملات مشترک 

اگر دو دنباله حسابی دارای جملات مشترک باشند، این جملات مشترک نیز دنباله ای حسابی می‌سازند که قدرنسبت آن برابر است با ک.م.م (کوچکترین مضرب مشترک) قدر نسبت آن دو دنباله.

 

مثال 8: در دو دنباله حسابی \(2, 6, 10, …\) و \(8, 28, 38, …\) قدر نسبت دنباله جملات مشترک چند است؟

پاسخ: قدر نسبت دنباله اول برابر با 4 و قدر نسبت دنباله دوم برابر با 10 است. بنابراین قدر نسبت دنباله جملات مشترک آن ها ک.م.م 4 و 10 خواهد بود که برابر با 20 است.

 

9) فرمول مجموع جملات دنباله حسابی \((S_n)\) یکی از مهم ترین فرمولهای دنباله حسابی

یکی از مهم ترین سوالات امتحانی و کنکوری در بحث دنباله حسابی، مربوط به محاسبه مجموع n جمله اول یک دنباله حسابی است. برای مثال در دنباله حسابی \(3, 10, 17, 24, …\) مجموع صد جمله اول را به دست آورید. در چنین شرایطی از فرمول زیر استفاده می‌کنیم:

$$\bbox[10px, border: 2px solid red]{\color{red} {S_n=\frac{n}{2}[2a_1+(n-1)d]}}$$

که در آن n، تعداد جملات، \(a_1\) جمله اول و d قدر نسبت دنباله است.

 

مثال 1-9: در دنباله حسابی \(3, 10, 17, 24, …\) مجموع صد جمله اول را به دست آورید؟

پاسخ: به وضوح قدر نسبت این دنباله برابر با 7 است، \(a_1=3\) و n=100. بنابراین با توجه به فرمول بالا داریم:

$${\color{green} {S_{100}=\frac{100}{2}[2\times 3+(100-1)7]=34950}}$$

بنابراین مجموع صد جمله اول دنباله حسابی بالا، 34950 است.

 

نکته مهم: در اگر به جای جمله اول و قدر نسبت، صورت سوال جمله اول و آخر را به ما داده باشد به جای فرمول بالا از فرمول زیر استفاده می‌کنیم:

$$\bbox[10px, border: 2px solid red]{\color{red} {S_n=\frac{n}{2}(a_1+a_n)}}$$

 

مثال 2-9: در یک دنباله حسابی، جمله اول 8 و جمله دوازدهم 22 است. مجموع دوازده جمله اول آن را به دست آورید:

پاسخ: به وضوح \(a_1=8\)، \(a_n=22\) و n=12. طبق فرمول بالا داریم:

$${\color{green} {S_{12}=\frac{12}{2}(8+22)=180}}$$

 

10) به دست آوردن \(a_n\) از روی \((S_n)\)

اگر در صورت سوال رابطه مربوط به \((S_n)\) را داشته باشیم و رابطه \(a_n\) را از ما بخواهند، از فرمول زیر استفاده می‌کنیم:

$$\bbox[10px, border: 2px solid red]{\color{red} {a_n=S_n-S_{n-1}}}$$

 

مثال 10: در یک دنباله حسابی، مجموع n جمله اول آن از رابطه \(S_n=n^2+2n\) به دست می‌آید، جمله هفتم دنباله را به دست آورید:

پاسخ: طبق فرمول بالا اگر به جای n عدد 7 را قرار دهیم، داریم:

$${\color{green} {a_7=S_7-S_{6}=63-48=15}}$$

 

11) مجموع های خاص

در این بخش سه مجموع مهم در رابطه با دنباله های حسابی را معرفی می‌کنیم که با یک حساب و کتاب ساده و با استفاده از فرمول مجموع دنباله حسابی به دست می‌آیند. این فرمول ها عبارتند از فرمول جمع اعداد طبیعی 1 تا n، فرمول جمع اعداد طبیعی زوج و فرمول مجموع اعداد طبیعی فرد.

$$\bbox[10px, border: 2px solid red]{\color{red} {1+2+3+…+n=\frac{n(n+1)}{2}}}$$

$$\bbox[10px, border: 2px solid red]{\color{red} {2+4+6+…+2n=n(n+1)}}$$

$$\bbox[10px, border: 2px solid red]{\color{red} {1+3+5+…+(2n-1)={n^2}}}$$

 

مثال 11: مجموع اعداد 1 تا 100 را به دست آورید:

پاسخ: طبق فرمول اول، بالا اگر به جای n عدد 100 را قرار دهیم، داریم:

$${\color{green} {1+2+3+…+100=\frac{100 \times 101}{2}=5050}}$$

 

سخن پایانی 

در این پست از سایت آموزش ریاضی ما معلمیم. به بررسی 11 مورد از مهم ترین فرمولهای دنباله حسابی پرداختیم. فرمول جمله عمومی دنباله حسابی، رابطه بازگشتی دنباله حسابی، فرمول مجموع n جمله اول و بسیاری موارد دیگر را به همراه مثال مطرح کردیم.

ما تلاش می‌کنیم تا سایت مامعلمیم را به یک منبع قابل اعتماد برای آموزش ریاضی و معرفی بهترین اساتید ریاضی ایران تبدیل کنیم. در صورتی که قصد آمادگی برای آزمون‌های ریاضی ابتدایی تا دانشگاه را دارید می‌توانید جهت دریافت مشاوره یا درخواست کلاس‌های ریاضی حضوری و آنلاین، با شماره 09309117227 تماس بگیرید.